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Função quadrática em matemática financeira

Função quadrática em matemática financeira

Ao estudar funções, aprendemos a utilizar essa área da matemática em várias aplicações, seja em corridas de taxi, colônias de bactérias, lançamentos oblíquos etc. Das aplicações para funções, existe a da matemática financeira, em que calculamos receita, custo e lucro através de uma função quadrática. Vejamos como isso se aplica!

Primeiramente, é importante ressaltar os conceitos básicos de receita, que é todo o faturamento de uma empresa. Custo: todos os ônus financeiros de forma geral. Lucro: a diferença entre o custo e a receita. Se a receita for maior que o custo, existe lucro; do contrário, existe prejuízo.

Na matemática, podemos trabalhar com esses conceitos através de funções, sendo receita, custo e lucro representados por R(x), C(x) e L(x), respectivamente. No decorrer dos cálculos, nota-se que a função lucro normalmente aparece em forma de função quadrática.
Em especial, a função custo pode ser expressa como C(x) = Cf + Cv, onde a função custo é a soma entre o custo fixo e o custo variável. Além disso podemos calcular a função lucro como F(x) = R(x) – C(x), ou seja, lucro é a diferença entre receita e custo.

Exemplo:
Uma hambúrgueres deseja vender, por mês, 20-x hambúrgueres a um preço x, sabendo que a empresa tem um custo de R$ 8 para cada hambúrguer fabricado, apresente as funções custo, receita e lucro e calcule o custo de venda para que o lucro seja máximo.

Função custo: C(x) = 8 * (20 – x) -> valor do custo multiplicado pelo numero de hambúrgueres

Função receita: R(x) = x (20 – x) -> faturamento dos hambúrgueres a um preço x

Função lucro: F(x) = R(x) – C(x), logo:
F(x) = x(20 – x) – (8 * (20 -x))
F(x) = 20x – x² – (160 – 8x)
F(x) = 20x – x² – 160 + 8x, portanto
F(x) = – x² + 28x – 160.

O lucro máximo é obtido através do valor de x na formula do vértice em uma parábola, sendo: Xv = -(b/2a)
Aplicando a fórmula do lucro máximo na F(x) teremos que:
a= -x²
b= 28x
c = -160

Xv  = -(28/(-2)) -> 28/2 = 14.
Ou seja, para a hambúrgueres ter lucro máximo no mês, ela deve vender os hambúrgueres a 14 reais cada.

No Enem, as questões que cobram lucro máximo são muito comuns e, normalmente, tem o caráter fácil, como essa da segunda aplicação do Exame de 2013: na questão, a função lucro está explicita no enunciado sendo L(x) = -x² + 12x -20 e é cobrado o lucro máximo.
Como já temos a função quadrática do lucro, basta aplicarmos a fórmula do lucro máximo
a = – x²
b = 12x
c = -20

Xv = -(b/2a) -> -(12/(-2)) -> 12/2 = 6.

Por fim, essa é apenas uma das várias aplicações da função quadrática. Nesse caso, voltado para o Enem, não se costuma pedir a montagem das três funções financeiras. Ao invés disso, optam pelo calculo do lucro máximo, facilitando as questões.

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